鄧煜：芝加哥大學(xué)數(shù)學(xué)系教授。他的研究主要聚焦于非線散方程與波動(dòng)方程、流體動(dòng)力學(xué)、調(diào)和分析、偏微分方程中的概率方法以及統(tǒng)計(jì)物理學(xué)。他于2007年至2009年期間曾就讀于北京大學(xué)，2011年獲得麻省理工學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)士學(xué)位，2015年獲得普林斯頓大學(xué)數(shù)學(xué)博士學(xué)位。他獲得了眾多杰出榮譽(yù)，包括MCA獎(jiǎng)（2025）、斯隆研究獎(jiǎng)（2021）、波特·奧格登·雅各布斯獎(jiǎng)學(xué)金（2015）、威廉·洛厄爾·普特南獎(jiǎng)學(xué)金（2010），以及國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽金（2006）。

問：當(dāng)今數(shù)學(xué)研究的主要方向是什么？

答：AMS（美國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)）的Mathematics Subject Classification列出了60個(gè)左右的分支，大致也就是分析/概率、代數(shù)/數(shù)論、幾何/拓?fù)溥@幾大塊。我的工作方向主要在PDE（偏微分方程）上。

簡(jiǎn)單來說，PDE的研究對(duì)象是由多元函數(shù)或向量場(chǎng)等（例如空間密度函數(shù)或流體的速度場(chǎng)）描述的，滿足一定物理規(guī)律（如Einstein方程或Schrodinger方程等）的系統(tǒng)。PDE發(fā)展到如今，已經(jīng)能夠回答許多經(jīng)典問題，并對(duì)某些簡(jiǎn)單的方程給出完整刻畫。當(dāng)然未解問題也還有很多。傳統(tǒng)的分析視角（基于線和多線估計(jì)，以及對(duì)守恒律與單調(diào)律等方程結(jié)構(gòu)的利用）經(jīng)過一個(gè)世紀(jì)的發(fā)展已經(jīng)相當(dāng)完善，但單一視角或許存在其固有的局限。

問：數(shù)學(xué)領(lǐng)域還有哪些“未解之謎”？解決它們需要什么樣的突破？

答：所謂“未解之謎”還是有很多的。比如克雷（Clay）著名的七大千禧年問題目前就只解決了一個(gè)。這里簡(jiǎn)單介紹一下和分析/概率相關(guān)的兩個(gè)問題。

Navier-Stokes方程的整體適定：Navier-Stokes方程是流體力學(xué)中基本的方程之一，而其是否對(duì)任意光滑初值存在整體光滑解，也是基本的問題之一。這一問題長(zhǎng)期未解決的原因是其“臨界”，即方程可能在小尺度上產(chǎn)生奇（比如解在某一點(diǎn)處趨于無窮）；而已知的分析工具（能量不等式等）在這類問題上并不能給出足夠的估計(jì)。

Yang-Mills量子場(chǎng)論的構(gòu)造：這一問題涉及Yang-Mills場(chǎng)論的量子化的構(gòu)造及其質(zhì)（如mass gap）的證明。從分析和概率角度（存在不同視角如拓?fù)淞孔訄?chǎng)論，限于篇幅這里不展開），需要構(gòu)造的是某個(gè)無窮維聯(lián)絡(luò)空間上，形式上由Yang-Mills泛函定義的概率測(cè)度。

問：數(shù)學(xué)與當(dāng)今熱門技術(shù)如AI、量子技術(shù)的關(guān)系是什么？

答：我簡(jiǎn)單解釋一下數(shù)學(xué)與AI的關(guān)系。我對(duì)量子技術(shù)了解不多，但如果量子計(jì)算能夠突破并實(shí)用化，或?qū)硭惴ê退懔Φ碾p重飛躍，對(duì)數(shù)學(xué)研究也可能產(chǎn)生刻的影響。

簡(jiǎn)單來說，存在著所謂“Math for AI”和“AI for Math”的兩個(gè)研究方向。前者關(guān)注（神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等）AI技術(shù)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，本質(zhì)上在試圖回答“為什么神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)用來近似任意函數(shù)能夠如此有”這一問題。就我所知的范圍，目前這一方向尚缺少重大的突破進(jìn)展，受到的關(guān)注也相對(duì)較少。

同時(shí)，“AI for Math”近則受到了數(shù)學(xué)界和AI學(xué)界的度關(guān)注。在這方面，近幾年的進(jìn)展大致可分為以下幾類：

（1）用AI尋找PDE可能的近似解（profile），并結(jié)合區(qū)間算術(shù)與計(jì)算機(jī)輔助證明來嚴(yán)格構(gòu)造方程的特殊解。

（2）用AI進(jìn)行“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”，從已知結(jié)果與數(shù)據(jù)中尋找規(guī)律，并以此為基礎(chǔ)尋求已有結(jié)果的改進(jìn)，或進(jìn)一步總結(jié)出一般結(jié)論并證明。在此方向，AlphaEvolve團(tuán)隊(duì)的論文報(bào)告了在各不同領(lǐng)域取得的進(jìn)展。

（3）AI自動(dòng)證明。目前各主流大語言模型均有一定書寫數(shù)學(xué)證明的能力，各大AI企業(yè)也在同時(shí)研發(fā)用于數(shù)學(xué)證明的模型。就目前而言，這些大模型的能力似乎足以解決一般的數(shù)學(xué)競(jìng)賽別題目，對(duì)部分較困難的題目則需依賴更強(qiáng)的算力。

（4）AI自動(dòng)形式化，預(yù)應(yīng)力鋼絞線即用大模型將自然語言書寫的數(shù)學(xué)證明轉(zhuǎn)化為L(zhǎng)ean等形式語言，從而自動(dòng)驗(yàn)證其正確。這一目標(biāo)比起自動(dòng)證明似乎更簡(jiǎn)單些，但如能實(shí)用化將大大簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)界的審稿流程。同樣地，目前大模型的能力似乎局限于在人類提供部分幫助下，形式化一些篇幅較短的證明（如近Math Inc.的智能體Gauss成功形式化了素?cái)?shù)定理的證明）。

問：基礎(chǔ)數(shù)學(xué)研究與算力、算法的關(guān)系？

答：就目前而言，AI（算法和算力）的發(fā)展對(duì)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的影響仍較為有限。主要原因是，當(dāng)前AI for Math依然局限于特殊領(lǐng)域的特殊問題（如尋找PDE的近似解）與一般領(lǐng)域的簡(jiǎn)單問題（近AI幫助解決了數(shù)個(gè)Erdos問題，但多數(shù)情況下AI所做的仍是從文獻(xiàn)中發(fā)掘已有的證明，而非原創(chuàng)證明）。

隨著將來AI算法和算力的進(jìn)一步發(fā)展，當(dāng)AI工具的能力足以真正在數(shù)學(xué)研究中發(fā)揮一定作用時(shí)，基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的研究方式亦可能隨之改變。到那時(shí)（如果有的話）AI是會(huì)作為研究助手還是立研究者存在，人類數(shù)學(xué)又將扮演怎樣的角，目前還不得而知。

問：對(duì)于當(dāng)代青少年來說，數(shù)學(xué)素養(yǎng)應(yīng)包含哪些要點(diǎn)？

答：對(duì)一般青少年的期望自然與對(duì)業(yè)數(shù)學(xué)不同，我也非數(shù)學(xué)教育方面，只能從個(gè)人角度嘗試討論一些。

（1）邏輯：邏輯可謂人類思維中重要的部分之一，它不僅是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也在日常生活與決策中起到重要作用。當(dāng)然并非生活中所有問題都可簡(jiǎn)化為邏輯判斷，但良好的邏輯素養(yǎng)能使人形成良好的直覺，后者在很多情況下都是大有助益的。

（2）統(tǒng)計(jì)：在當(dāng)代乃至近未來，每個(gè)人接觸到的信息量會(huì)越來越大，這就需要從大量信息中總結(jié)提取重要和有用的部分。同樣，這里的“統(tǒng)計(jì)”未指向具體理論，而是一種“掌握宏觀趨勢(shì)，而不被微觀個(gè)例所迷惑”的直覺。

（3）分析：在分析學(xué)中，重要的能力之一是從某個(gè)整體的不同部分貢獻(xiàn)中分離主要與次要成分。這一點(diǎn)對(duì)普通人也有著重要意義：對(duì)一件復(fù)雜事物，如何抓住起主要作用的因素，并對(duì)其進(jìn)行控制以達(dá)到想要的結(jié)果。此外，也包括如何分析事物的變化趨勢(shì)等等。

（4）結(jié)構(gòu)化：相對(duì)于分析學(xué)，代數(shù)學(xué)的則是“抽象”或“結(jié)構(gòu)化”，即在本質(zhì)相同的不同事物間建立聯(lián)系。顯然這點(diǎn)在生活中也是相當(dāng)重要的：其有助于看清不同事物的本質(zhì)并作出相應(yīng)的決策。

總之，數(shù)學(xué)素養(yǎng)不同于數(shù)學(xué)知識(shí)或數(shù)學(xué)能力，但對(duì)數(shù)學(xué)的了解有助于獲得良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。以此為目標(biāo)該如何對(duì)青少年進(jìn)行教育和培養(yǎng)，尚有待數(shù)學(xué)教育的研究。

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